Seismic Tomography (2): "la formulazione del problema inverso"

 

Un problema inverso è uno strumento molto ricorrente in molti rami della matematica e della scienza in generale, il quale è caratterizzato da alcuni parametri di un modello che devono essere ottenuti a partire da dati osservati. Il problema inverso può essere fromulato come composizione di:

1. Dati
2. Parametri di un modello

La trasformazione dai dati ai parametri del modello sono il risultato di una interazione di un sistema fisico, come la Terra.

I problemi di questo tipo sono noti in geofisica, medicina, telerilevamento ed astronomia.

Questa tipologia di problema è tipico per la sua indeterminazione, cioè la soluzione non è soggetta ad univocità.

Un problema inverso ha lo scopo di definire m così che (al massimo della approssimazione):

 dove G è un operatore che descrive esplicitamente la relazione esistente tra i dati d e i parametri del modello m e rappresenta il sistema fisico.  A seconda del contesto G è definito come forward operator, observation operator, oppure observation function.
Nel caso di un problema inverso lineare la relazione tra parametri e dati può essere espressa come:

dove G è una martice chiamata observation matrix mentre d ed m sono vettori. Le dimensioni di G saranno legate alle componenti dei vettori.




 

• esempio di relazione lineare

La situazione risulta molto più complessa quando il problema inverso sia di tipo non lineare. In tal caso nella relazione:

G è rappresentato da un operatore non lineare e la soluzione necessita di un approccio più complesso al fine di ottenere risultati.

Soluzioni a questi problemi sono ottenute sviluppando un inverse scattering problems, formulato dalla scuola matematica russa (Krein, Gelfand, Levitan, Marchenko).




Acknowledgements:

• Inverse Problems Network
• Inverse Problems page at the University of Alabama
• Another Inverse Problems web site
• Albert Tarantola's website, including a free PDF version of his Inverse Problem Theory book, and some on-line articles on Inverse Problems
• Andy Ganse's Geophysical Inverse Theory Resources Page
• Finnish Centre of Excellence in Inverse Problems Research